TheoryHTML/Pages/binaryRelationship.html

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
  <head>
    <meta charset="UTF-8" />
    <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge" />
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0" />
    <title>Страница 2</title>
  </head>
  <body>
    <p style="text-align: center">
      <i><b>Страница 2</b></i>
    </p>
    <hr />
    <h1 style="text-align: center">Дискретная математика</h1>
    <h2 style="text-align: center">
      Функция, как тип бинарных отношений [4, c. 96-100]
    </h2>
    <p>
      Отношения эффективно применяются для описания связей между парами
      элементов, выбранных из двух множеств <i>А</i> и <i>В</i>. Функции &mdash;
      это частный случай бинарных отношений, на которые наложены дополнительные
      ограничения.
    </p>
    <p>
      Функцией из множества <i>А</i> в множество <i>В</i> называется бинарное
      отношение, при котором <i>каждый</i> элемент множества <i>А</i> связан с
      единственным элементом множества <i>В</i>. Другими словами, для каждого
      <i>a&nbsp;&isin;&nbsp;A</i>&nbsp;существует ровно одна пара из отношения
      вида <i>(а, b)</i>.
    </p>
    <p>
      В графических терминах функция описывается таким графом, у которого из
      каждой вершины, изображающей элементы множества <i>A</i>, выходит
      <i>ровно одна</i> стрелка.
    </p>
    <p>
      Например, на рис. 2.1 изображен граф, представляющий функцию из множества
      <i>{а, b, с}</i> в <i>{1, 2}</i>, состоящую из пар <i>(а, 1),</i>
      <i>(b, 1)</i> и <i>(с, 2)</i>.
      <div style="text-align: center">
        <img src="2.1.png" height="150" />
        <p style="text-align: center">Рисунок 2.1 - функция из множества</p>
      </div>
    </p>
    <p style="text-align: justify">
      Пусть <i>f</i> - функция из множества <i>A</i> в множество <i>B</i>.
      Поскольку для каждого <i>x&nbsp;&isin;&nbsp;A</i> существует единственным
      образом определённый <i>y&isin;&nbsp;B</i>, такой, что
      <i>(x, y) &isin; f</i>, мы будем писать: <i>y = f(x)</i>, и говорить, что
      функция <i>f</i> <i>отображает </i>множество <i>A</i> в множество
      <i>B</i>, а <i>f(x)</i> называть <i>образом x</i> при отображении
      <i>f</i> или <i>значением</i> <i>f</i>, соответствующим аргументу
      <i>x</i>.
    </p>
    <p style="text-align: justify">
      Кроме того, можно написать <i>f : A&nbsp;&rarr;&nbsp;B</i>, чтобы
      подчеркнуть, что функция <i>f</i> переводит элементы из <i>A</i> в
      элементы из <i>B</i>. Множество <i>A </i>принято называть
      <i>областью определения</i>, а <i>B</i> -
      <i>областью значений</i> функции<sup>1</sup> <i>f</i>.
    </p>
    <p style="text-align: justify">
      Для уточнения подмножества элементов, в которые переводятся элементы из
      <i>A</i> функцией <i>f</i>, вводят понятие &quot;образ&quot; или
      &quot;множество значений функции&quot;. А именно,
      <i>множеством значений</i> функции <i>f</i> называется подмножество в
      <i>B</i>, состоящее из образов всех
      элементов&nbsp;<i>x&nbsp;&isin;&nbsp;A</i>. Оно обозначается символом
      <i>f(A)</i> и формально определяется так:
    </p>
    <p style="text-align: center">
      <i
        >f(A) = {f(x) : x&nbsp;<i style="text-align: justify">&isin;&nbsp;</i
        >A}</i
      >
    </p>
    <p style="text-align: center">&nbsp;</p>
    <h2 style="text-align: center">Свойства функций</h2>
    <p style="text-align: justify">
      Пусть <i>f : A&nbsp;&rarr;&nbsp;B</i> - функция. Мы будем называть её
      <i>инъективной </i>или <i>инъекцией</i>, или <i>взаимно однозначной</i>,
      если
    </p>
    <p style="text-align: center">
      <i
        >f(a<sub>1</sub>) = f(a<sub>2</sub>)&nbsp;&rArr;&nbsp;a<sub>1 </sub
        >=<sub>&nbsp;</sub>a<sub>2</sub></i
      >
    </p>
    <p style="text-align: justify">
      для всех&nbsp;<i>a<sub>1</sub>,&nbsp;a<sub>2&nbsp;</sub>&isin;&nbsp;A</i>.
    </p>
    <p style="text-align: justify">
      Это определение логически эквивалентно тому, что
    </p>
    <p style="text-align: center">
      <i
        >a<sub>1&nbsp;</sub>&ne;&nbsp;a<sub>2</sub>&nbsp;&rArr;&nbsp;f(a<sub>1</sub>)&nbsp;&ne;&nbsp;f(a<sub>2</sub>),</i
      >
    </p>
    <p style="text-align: justify">
      т.е. у инъективной функции нет повторяющихся значений. Иными словами,
      разные входные данные дают различные выходные данные.
    </p>
    <p style="text-align: justify">
      Будем называть функцию <i>f</i> <i>сюръективной </i>или <i>сюръекцией</i>,
      или <i>функцией &quot;на&quot;</i>, если множество её значений совпадает с
      областью значений. Это означает, что для каждого
      <i>b&nbsp;&isin;&nbsp;B</i> найдётся такой <i>a&nbsp;&isin;&nbsp;A</i>,
      что <i>b = f(a)</i>. Таким образом, каждый элемент области значений
      является образом какого-то элемента из области определения <i>f</i> .
    </p>
    <p style="text-align: justify">
      Мы называем <i>f</i> <i>биективной </i>функцией или просто
      <i>биекцией</i>, если она как инъективна, так и сюръективна.
    </p>
    <p style="text-align: justify">&nbsp;</p>
    <p>На рисунке 2.2 представлены различные виды функций.</p>
    <div style="text-align: center">
      <img src="2.2.png" height="350" />
      <p style="text-align: center">Рисунок 2.2 - различные виды функций</p>
    </div>
    <p>Описание:</p>
    <ul>
      <li>
        В случае (a) функция не инъективна, поскольку значение 1 соответствует
        как a, так и b. Она не является и сюръективной, ввиду того, что в
        элемент 2 ничего не переходит.
      </li>
      <li>
        В случае (б) функция инъективна, так как не имеет повторяющихся
        значений. Она же и сюръективна, поскольку множество ее значений
        совпадает со всей областью значений.
      </li>
      <li>
        Значение 1 эта функция в случае (в) принимает как на а, так и на Ь.
        Следовательно, она не инъективна. Однако данная функция сюръективна,
        поскольку в ее множество значений входят все элементы области значений.
      </li>
      <li>Последняя функция в случае (г) инъективна, но не сюръективна.</li>
      <li>Только в случае (б) мы имеем биекцию.</li>
    </ul>
    <hr />
    <p>
      <sup>1</sup>Довольно часто говорят, что функция f определена или задана на
      множестве A со значениями в множестве B. - Прим. перев.
    </p>
  </body>
</html>