Initial commit

2026-07-12 14:22:00 +04:00
commit 49ecd4784c
90 changed files with 6910 additions and 0 deletions
@@ -0,0 +1,139 @@
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="en">
+  <head>
+    <meta charset="UTF-8" />
+    <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge" />
+    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0" />
+    <title>Страница 8</title>
+  </head>
+  <body>
+    <p style="text-align: center">
+        <i><b>Страница 8</b></i>
+    </p>
+    <hr />
+    <h1 style="text-align: center">Анализ хеш-таблиц и алгоритмов поиска</h1>
+    <h2 style="text-align: center">Общее описание [2, c. 285-318]</h2>
+    <p style="text-align: justify">
+      Хеш-таблица представляет собой эффективную структуру данных для реализации
+      словарей. Хотя на поиск элемента в хеш-таблице может в наихудшем случае
+      потребоваться столько же времени, сколько на поиск в связанном списке, а
+      именно - <i>&Theta;(n)</i>, на практике хеширование исключительно
+      эффективно. При вполне обоснованных допущениях среднее время поиска
+      элемента в хеш-таблице составляет <i>O(1)</i>.
+    </p>
+    <h2 style="text-align: center">
+      Таблица с прямой адресацией, как хеш-таблица
+    </h2>
+    <p style="text-align: justify">
+      Хеш-таблица обобщает обычный массив. Возможность прямой индексации
+      элементов обычного массива обеспечивает доступ к произвольной позиции в
+      массиве за время <i>O(1)</i>. Хеширование представляет собой исключительно
+      эффективную и практичную технологию: в среднем все базовые словарные
+      операции выполняются за время <i>O(1)</i><i>.</i>
+    </p>
+    <p style="text-align: justify">
+      Недостаток прямой адресации очевиден: если совокупность ключей
+      <i>U</i> велика, хранение таблицы <i>T</i> размером
+      <i>|U|</i> непрактично, а то и вовсе невозможно - в зависимости от
+      количества доступной памяти и размера совокупности ключей. Кроме того,
+      множество <i>K</i> реально сохранённых ключей может быть мало по сравнению
+      с совокупностью ключей <i>U</i>, а в этом случае память, выделенная для
+      таблицы <i>T</i>, в основном расходуется напрасно.
+    </p>
+    <p style="text-align: justify">
+      Когда множество <i>K</i> хранящихся в словаре ключей гораздо меньше
+      совокупности возможных ключей <i>U</i>, для хеш-таблицы требуется
+      существенно меньше места, чем для таблицы с прямой адресацией<sup>1</sup>.
+      Точнее говоря, требования к памяти могут быть снижены
+      до&nbsp;<i>&Theta;(/K/)</i>, при этом время поиска элемента в хеш-таблице
+      останется равным <i>O(1)</i>. Нужно только заметить, что это граница
+      времени поиска в среднем случае, в то время как в случае таблицы с прямой
+      адресацией эта граница справедлива для наихудшего случая.
+    </p>
+    <h2 style="text-align: center">Хеш-таблица с прямым связыванием</h2>
+    <p>
+      Время, необходимое для вставки в наихудшем случае, равно <i>O(1)</i>.
+      Процедура вставки выполняется очень быстро, в частности, потому, что
+      предполагается, что вставляемый элемент отсутствует в таблице. Время
+      работы поиска в наихудшем случае пропорционально длине списка. Удаление
+      элемента может быть выполнено за время <i>O(1)</i> при использовании
+      дважды связанных списков.
+    </p>
+    <p>
+      Пусть у нас есть хеш-таблица T с m ячейками, в которых хранятся n
+      элементов. В наихудшем случае хеширование с цепочками ведёт себя крайне
+      неприятно: все n ключей хешированы в одну и ту же ячейку, создав список
+      длиной n. Таким образом, время поиска в наихудшем случае равно&nbsp;<i
+        style="text-align: justify"
+        >&Theta;(n)</i
+      >
+      плюс время вычисления хеш-функции, что ничуть не лучше, чем в случае
+      использования связного списка для хранения всех n элементов. Понятно, что
+      использование хеш-таблиц в наихудшем случае совершенно бессмысленно.
+    </p>
+    <h3>Теорема 8.1<sup>2</sup></h3>
+    <p>
+      В хеш-таблице с разрешением коллизий методом цепочек время неудачного
+      поиска в среднем случае в предположении простого равномерного хеширования
+      составляет&nbsp;<i style="text-align: justify">&Theta;(1 + a).</i>
+    </p>
+    <h3>Теорема 8.2</h3>
+    <p>
+      В хеш-таблице с разрешением коллизий методом цепочек время успешного
+      поиска в среднем случае в предположении простого равномерного хеширования
+      в среднем равно&nbsp;<i style="text-align: justify">&Theta;(1 + a).</i>
+    </p>
+    <p style="text-align: justify">
+      Если количество ячеек в хеш-таблице как минимум пропорционально количеству
+      элементов, хранящихся в ней, то <i>n = O(m)</i> и, следовательно,
+      коэффициент заполнения равен <i>n/m = O(m)/m = O(1).</i>&nbsp;Таким
+      образом, поиск элемента в хеш-таблице в среднем требует постоянного
+      времени. Поскольку в худшем случае вставка элемента в хеш-таблицу занимает
+      O(1) времени (как и удаление элемента при использовании дважды связанных
+      списков), можно сделать вывод, что все словарные операции в хеш-таблице в
+      среднем выполняются за время O(1).
+    </p>
+    <h2 style="text-align: center">Хеш-таблица с открытой адресацией</h2>
+    <p style="text-align: justify">
+      Мы проанализируем математическое ожидание количества исследований для
+      хеширования с открытой адресацией в предположении равномерного хеширования
+      и начнём с анализа количества исследований в случае неудачного поиска.
+    </p>
+    <h3>Теорема 8.3</h3>
+    <p>
+      Математическое ожидание количества исследований при неудачном поиске в хеш
+      таблице с открытой адресацией и коэффициентом заполнения
+      <i>a = n/m &lt; 1</i> в предположении равномерного хеширования не
+      превышает <i>1/(1-a).</i>
+    </p>
+    <h3>Следствие 8.1</h3>
+    <p>
+      Вставка элемента в хеш-таблицу с открытой адресацией и коэффициентом
+      заполнения a в предположении равномерного хеширования требует в среднем не
+      более <i>1/(1-a)</i> исследований.
+    </p>
+    <h3>Теорема 8.4</h3>
+    <p>
+      Математическое ожидание количества исследований при удачном поиске в
+      хеш-таблице с открытой адресацией и коэффициентом заполнения <i>a &lt; 1</i>, в
+      предположении равномерного хеширования и равновероятного поиска любого из
+      ключей не превышает
+    </p>
+    <div style="text-align: center">
+        <img src="8.1.png" width="150" />        
+    </div>
+    <p>&nbsp;</p>
+    <hr />
+    <p>
+      <sup>1</sup>В данном контексте автор, упоминая таблицу с прямой
+      адресацией, не применяет термин хеш, так как, предположительно, в примере
+      оригинальной книги не используется хеш-функция для операций поиска
+      элемента или все операции вставки элемента являются инъективными и не
+      нуждаются в решении проблем коллизий.
+    </p>
+    <p>
+      <sup>2</sup>Все доказательства теорем представлены в книге автора с целью
+      описания минимума методического материала
+    </p>
+  </body>
+</html>