Страница 2

Дискретная математика

Функция, как тип бинарных отношений [4, c. 96-100]

Отношения эффективно применяются для описания связей между парами элементов, выбранных из двух множеств А и В. Функции — это частный случай бинарных отношений, на которые наложены дополнительные ограничения.

Функцией из множества А в множество В называется бинарное отношение, при котором каждый элемент множества А связан с единственным элементом множества В. Другими словами, для каждого a ∈ A существует ровно одна пара из отношения вида (а, b).

В графических терминах функция описывается таким графом, у которого из каждой вершины, изображающей элементы множества A, выходит ровно одна стрелка.

Например, на рис. 2.1 изображен граф, представляющий функцию из множества {а, b, с} в {1, 2}, состоящую из пар (а, 1), (b, 1) и (с, 2).

Рисунок 2.1 - функция из множества

Пусть f - функция из множества A в множество B. Поскольку для каждого x ∈ A существует единственным образом определённый y∈ B, такой, что (x, y) ∈ f, мы будем писать: y = f(x), и говорить, что функция f отображает множество A в множество B, а f(x) называть образом x при отображении f или значением f, соответствующим аргументу x.

Кроме того, можно написать f : A → B, чтобы подчеркнуть, что функция f переводит элементы из A в элементы из B. Множество A принято называть областью определения, а B - областью значений функции¹ f.

Для уточнения подмножества элементов, в которые переводятся элементы из A функцией f, вводят понятие "образ" или "множество значений функции". А именно, множеством значений функции f называется подмножество в B, состоящее из образов всех элементов x ∈ A. Оно обозначается символом f(A) и формально определяется так:

f(A) = {f(x) : x ∈ A}

Свойства функций

Пусть f : A → B - функция. Мы будем называть её инъективной или инъекцией, или взаимно однозначной, если

f(a₁) = f(a₂) ⇒ a₁ = a₂

для всех a₁, a₂ ∈ A.

Это определение логически эквивалентно тому, что

a₁ ≠ a₂ ⇒ f(a₁) ≠ f(a₂),

т.е. у инъективной функции нет повторяющихся значений. Иными словами, разные входные данные дают различные выходные данные.

Будем называть функцию f сюръективной или сюръекцией, или функцией "на", если множество её значений совпадает с областью значений. Это означает, что для каждого b ∈ B найдётся такой a ∈ A, что b = f(a). Таким образом, каждый элемент области значений является образом какого-то элемента из области определения f .

Мы называем f биективной функцией или просто биекцией, если она как инъективна, так и сюръективна.

На рисунке 2.2 представлены различные виды функций.

Рисунок 2.2 - различные виды функций

Описание:

• В случае (a) функция не инъективна, поскольку значение 1 соответствует как a, так и b. Она не является и сюръективной, ввиду того, что в элемент 2 ничего не переходит.
• В случае (б) функция инъективна, так как не имеет повторяющихся значений. Она же и сюръективна, поскольку множество ее значений совпадает со всей областью значений.
• Значение 1 эта функция в случае (в) принимает как на а, так и на Ь. Следовательно, она не инъективна. Однако данная функция сюръективна, поскольку в ее множество значений входят все элементы области значений.
• Последняя функция в случае (г) инъективна, но не сюръективна.
• Только в случае (б) мы имеем биекцию.

¹Довольно часто говорят, что функция f определена или задана на множестве A со значениями в множестве B. - Прим. перев.