user
150 lines
8.8 KiB
HTML
150 lines
8.8 KiB
HTML
<!DOCTYPE html>
|
||
<html lang="en">
|
||
<head>
|
||
<meta charset="UTF-8" />
|
||
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge" />
|
||
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0" />
|
||
<title>Страница 2</title>
|
||
</head>
|
||
<body>
|
||
<p style="text-align: center">
|
||
<i><b>Страница 2</b></i>
|
||
</p>
|
||
<hr />
|
||
<h1 style="text-align: center">Дискретная математика</h1>
|
||
<h2 style="text-align: center">
|
||
Функция, как тип бинарных отношений [4, c. 96-100]
|
||
</h2>
|
||
<p>
|
||
Отношения эффективно применяются для описания связей между парами
|
||
элементов, выбранных из двух множеств <i>А</i> и <i>В</i>. Функции —
|
||
это частный случай бинарных отношений, на которые наложены дополнительные
|
||
ограничения.
|
||
</p>
|
||
<p>
|
||
Функцией из множества <i>А</i> в множество <i>В</i> называется бинарное
|
||
отношение, при котором <i>каждый</i> элемент множества <i>А</i> связан с
|
||
единственным элементом множества <i>В</i>. Другими словами, для каждого
|
||
<i>a ∈ A</i> существует ровно одна пара из отношения
|
||
вида <i>(а, b)</i>.
|
||
</p>
|
||
<p>
|
||
В графических терминах функция описывается таким графом, у которого из
|
||
каждой вершины, изображающей элементы множества <i>A</i>, выходит
|
||
<i>ровно одна</i> стрелка.
|
||
</p>
|
||
<p>
|
||
Например, на рис. 2.1 изображен граф, представляющий функцию из множества
|
||
<i>{а, b, с}</i> в <i>{1, 2}</i>, состоящую из пар <i>(а, 1),</i>
|
||
<i>(b, 1)</i> и <i>(с, 2)</i>.
|
||
<div style="text-align: center">
|
||
<img src="2.1.png" height="150" />
|
||
<p style="text-align: center">Рисунок 2.1 - функция из множества</p>
|
||
</div>
|
||
</p>
|
||
<p style="text-align: justify">
|
||
Пусть <i>f</i> - функция из множества <i>A</i> в множество <i>B</i>.
|
||
Поскольку для каждого <i>x ∈ A</i> существует единственным
|
||
образом определённый <i>y∈ B</i>, такой, что
|
||
<i>(x, y) ∈ f</i>, мы будем писать: <i>y = f(x)</i>, и говорить, что
|
||
функция <i>f</i> <i>отображает </i>множество <i>A</i> в множество
|
||
<i>B</i>, а <i>f(x)</i> называть <i>образом x</i> при отображении
|
||
<i>f</i> или <i>значением</i> <i>f</i>, соответствующим аргументу
|
||
<i>x</i>.
|
||
</p>
|
||
<p style="text-align: justify">
|
||
Кроме того, можно написать <i>f : A → B</i>, чтобы
|
||
подчеркнуть, что функция <i>f</i> переводит элементы из <i>A</i> в
|
||
элементы из <i>B</i>. Множество <i>A </i>принято называть
|
||
<i>областью определения</i>, а <i>B</i> -
|
||
<i>областью значений</i> функции<sup>1</sup> <i>f</i>.
|
||
</p>
|
||
<p style="text-align: justify">
|
||
Для уточнения подмножества элементов, в которые переводятся элементы из
|
||
<i>A</i> функцией <i>f</i>, вводят понятие "образ" или
|
||
"множество значений функции". А именно,
|
||
<i>множеством значений</i> функции <i>f</i> называется подмножество в
|
||
<i>B</i>, состоящее из образов всех
|
||
элементов <i>x ∈ A</i>. Оно обозначается символом
|
||
<i>f(A)</i> и формально определяется так:
|
||
</p>
|
||
<p style="text-align: center">
|
||
<i
|
||
>f(A) = {f(x) : x <i style="text-align: justify">∈ </i
|
||
>A}</i
|
||
>
|
||
</p>
|
||
<p style="text-align: center"> </p>
|
||
<h2 style="text-align: center">Свойства функций</h2>
|
||
<p style="text-align: justify">
|
||
Пусть <i>f : A → B</i> - функция. Мы будем называть её
|
||
<i>инъективной </i>или <i>инъекцией</i>, или <i>взаимно однозначной</i>,
|
||
если
|
||
</p>
|
||
<p style="text-align: center">
|
||
<i
|
||
>f(a<sub>1</sub>) = f(a<sub>2</sub>) ⇒ a<sub>1 </sub
|
||
>=<sub> </sub>a<sub>2</sub></i
|
||
>
|
||
</p>
|
||
<p style="text-align: justify">
|
||
для всех <i>a<sub>1</sub>, a<sub>2 </sub>∈ A</i>.
|
||
</p>
|
||
<p style="text-align: justify">
|
||
Это определение логически эквивалентно тому, что
|
||
</p>
|
||
<p style="text-align: center">
|
||
<i
|
||
>a<sub>1 </sub>≠ a<sub>2</sub> ⇒ f(a<sub>1</sub>) ≠ f(a<sub>2</sub>),</i
|
||
>
|
||
</p>
|
||
<p style="text-align: justify">
|
||
т.е. у инъективной функции нет повторяющихся значений. Иными словами,
|
||
разные входные данные дают различные выходные данные.
|
||
</p>
|
||
<p style="text-align: justify">
|
||
Будем называть функцию <i>f</i> <i>сюръективной </i>или <i>сюръекцией</i>,
|
||
или <i>функцией "на"</i>, если множество её значений совпадает с
|
||
областью значений. Это означает, что для каждого
|
||
<i>b ∈ B</i> найдётся такой <i>a ∈ A</i>,
|
||
что <i>b = f(a)</i>. Таким образом, каждый элемент области значений
|
||
является образом какого-то элемента из области определения <i>f</i> .
|
||
</p>
|
||
<p style="text-align: justify">
|
||
Мы называем <i>f</i> <i>биективной </i>функцией или просто
|
||
<i>биекцией</i>, если она как инъективна, так и сюръективна.
|
||
</p>
|
||
<p style="text-align: justify"> </p>
|
||
<p>На рисунке 2.2 представлены различные виды функций.</p>
|
||
<div style="text-align: center">
|
||
<img src="2.2.png" height="350" />
|
||
<p style="text-align: center">Рисунок 2.2 - различные виды функций</p>
|
||
</div>
|
||
<p>Описание:</p>
|
||
<ul>
|
||
<li>
|
||
В случае (a) функция не инъективна, поскольку значение 1 соответствует
|
||
как a, так и b. Она не является и сюръективной, ввиду того, что в
|
||
элемент 2 ничего не переходит.
|
||
</li>
|
||
<li>
|
||
В случае (б) функция инъективна, так как не имеет повторяющихся
|
||
значений. Она же и сюръективна, поскольку множество ее значений
|
||
совпадает со всей областью значений.
|
||
</li>
|
||
<li>
|
||
Значение 1 эта функция в случае (в) принимает как на а, так и на Ь.
|
||
Следовательно, она не инъективна. Однако данная функция сюръективна,
|
||
поскольку в ее множество значений входят все элементы области значений.
|
||
</li>
|
||
<li>Последняя функция в случае (г) инъективна, но не сюръективна.</li>
|
||
<li>Только в случае (б) мы имеем биекцию.</li>
|
||
</ul>
|
||
<hr />
|
||
<p>
|
||
<sup>1</sup>Довольно часто говорят, что функция f определена или задана на
|
||
множестве A со значениями в множестве B. - Прим. перев.
|
||
</p>
|
||
</body>
|
||
</html>
|